Projetos
Amineh Sakhaie
Diogo Abreu
Diogo Abreu
Duarte Costa
Francisco Alves
João Fontinha
Rafael Hipólito
Coding Theory and Its Application in Cryptography
Amineh Sakhaie
Áreas: Algebra, Coding theory, Cryptography
Resumo: In the modern world, data security and privacy are of utmost importance. A breach of confidentiality can result in serious consequences such as identity theft, financial loss, and public exposure. The foundation of data protection is built on pure mathematics, especially areas like group theory, finite fields, and coding theory. This project explores the critical role of coding theory in modern cryptography, highlighting how mathematical structures safeguard information against errors and attacks.
Cryptography aims to ensure confidentiality, integrity, authentication, and non-repudiation during communication. Moreover, coding theory addresses error detection and correction, ensuring that data remain reliable even when transmitted across noisy or imperfect channels. These two fields converge significantly: Coding theory not only protects against random transmission errors but also strengthens cryptographic systems against malicious attacks.
Through this project, you will gain an understanding of how deep mathematical concepts are applied to real-world problems, and why coding theory is not only about correcting random errors but is also a fundamental tool for protecting privacy in the digital age.
Modelos Matemáticos em Epidemiologia: Discreto versus Contínuo
Diana Ferreira
Área: Matemática Aplicada à Biologia
Resumo: Dado que doenças infecciosas evoluem a um passo contínuo, modelos de tempo contínuo são mais prováveis de ser usados do que os de tempo discreto. Um exemplo de modelo de tempo contínuo é o modelo de Kermack-McKendrick. Ora, então quais são as vantagens de introduzir um modelo de tempo discreto para descrever a evolução de uma doença infecciosa? Será o estudo de modelos de tempo-discreto análogo ao estudo de modelos de tempo contínuo?
Modelos Matemáticos em Epidemiologia Inserção de heterogeneidade
Diana Ferreira
Área: Matemática Aplicada à Biologia
Resumo: Considerando-se uma população de uma certa espécie, não é esperado que os seus indivíduos sejam todos iguais: p. ex., alguns indivíduos podem ser (parcialmente ou totalmente) imunes a uma certa doença infecciosa enquanto outros não são. A população humana, por exemplo, é notoriamente heterogénea! Sendo assim, como podemos nós tomar em conta a heterogeneidade aquando da construção de um modelo epidemiológico? Que técnicas são usadas no estudo dos modelos obtidos?
Autómatos Topológicos
Diogo Abreu
Áreas: Álgebra e Topologia
Resumo: A relação entre linguagens racionais e autómatos finitos é extremamente importante e tem sido muito estudada ao longo dos anos. Contudo, quando consideramos linguagens mais gerais, esta relação perde força pois os autómatos que as caracterizam deixam de ser finitos. Muitas vezes são até usados diferentes modelos de autómatos para diferentes tipos de linguagens. Com ajuda de ferramentas topológicas iremos definir autómatos topológicos e veremos que qualquer tipo de linguagem pode ser descrita por um destes autómatos.
Linguagens e Autómatos
Diogo Abreu
Áreas: Computação e Álgebra
Resumo: O que é uma linguagem se não apenas um conjunto de palavras? E o que são palavras se não apenas uma sequência finita de letras de um alfabeto? Embora pensemos em linguagens como sendo meras ferramentas de comunicação, podemos expandir a nossa interpretação do que é uma linguagem de modo a usarmos este conceito para estudarmos o comportamento de pequenas "máquinas" que chamamos de autómatos. Neste projeto iremos então estudar a relação entre linguagens racionais e autómatos finitos.
Observação. Na primeira semana (de 16 a 19 de julho) a mentoria deste projeto funcionará à distância, por vídeo-conferência. Na segunda semana funcionará presencialmente.
Processamento topológico de sinal
Duarte Costa
Áreas: Modelos matemáticos, Topologia e Geometria
Resumo: Imaginemos que queremos arranjar forma de registar a amplitude e frequência das oscilações provocadas por um sismo. Ou que queremos registar as cores atribuídas a cada pixel de uma imagem de modo a podermos reproduzir a imagem novamente. Processamento de sinal não é mais do que isto: a retenção de informação específica sobre um objeto, para um fim pré-determinado. Mas que meios temos para retirar essa informação? E qual a forma mais eficiente de o fazer? Neste projeto, veremos que, surpreendentemente, a topologia oferece ferramentas naturais para modelar este tipo de problema! Em particular, vamos trabalhar com uma ferramenta topológica, essencial na área de Geometria: os feixes. Com eles, passamos a poder atribuir informação a (ou guardar informação de) um espaço topológico, e com essa informação tirar conclusões sobre esse espaço - tais como número de buracos e o quão difícil é encontrar primitivas nesse espaço. Vamos também trabalhar com complexos celulares, que permitem decompor objetos complexos em objetos simples. Os complexos celulares irão ajudar-nos a descrever o contexto e o objeto, e os feixes guardarão a informação necessária. Com estas ferramentas topológicas, veremos como alguns conceitos de processamento de sinal se podem escrever de forma muito simples e bonita.
Desigualdade de Hausdorff-Young
Francisco Alves
Áreas: Análise Harmónica e Análise Complexa
Resumo: A transformação de Fourier é uma operação que se pode aplicar a uma função e dá a sua representação no domínio de frequências, que essencialmente ajuda a ver de que frequências é que é composto um sinal complicado. É muito utilizada na física e no processamento de sinais e tanto a transformação de Fourier como variantes dela são objetos complicados que são muito úteis noutras áreas e tema de investigação matemática até hoje. Neste projeto pretendemos definir rigorosamente a transformação de Fourier e demonstrar a desigualdade de Hausdorff-Young, que é uma desigualdade entre a norma de uma função e a norma da sua transformada de Fourier, a chave para esta demonstração é o teorema de interpolação de Riesz-Thorin, uma ferramenta poderosa que a partir de duas desigualdades nos dá uma família de desigualdades. Caso haja tempo podemos aplicar o teorema de interpolação de Riesz-Thorin para demonstrar outra desigualdade ou estudar alguma parte da demonstração da versão que não pode ser melhorada da desigualdade de Hausdorff-Young.
O Princípio perdido de Fermat
João Fontinha
Áreas: Teoria de Números e Análise Complexa
Resumo: "Encontrei uma demonstração elegante para este problema, mas infelizmente não cabe na margem desta página". Foram estas as míticas palavras de Pierre de Fermat que inspiraram 4 séculos de Matemática com vista à resolução do Último Teorema e que culminaram numa demonstração de quase 200 páginas.
Porém, longe do domínio das funções Zeta e formas modulares que a caracterizam, estão escondidas uma família de conjecturas que permitem demonstrar o último Teorema de Fermat em pouco mais que um par de linhas! Eis o mundo das Conjecturas de abc: Se a+b=c, como se relacionam os factores primos de a e b com os de c? Esta pergunta aparentemente inocente, esconde matemática bastante profunda. Neste projecto, iremos abordar as Conjecturas de abc de forma completamente elementar aprendendo como descrevem o comportamento dos primos sob a adição e como podem fornecer demonstrações simples de vários problemas aparentemente inalcançáveis em teoria de números. Os pré-requisitos são apenas aritmética modular. De acordo com a sua preferência e nível de background, o aluno poderá debruçar-se sobre ramificações mais avançadas das conjecturas de abc que envolvem alguma análise complexa e p-ádica.
Clássica, Intuicionista ou Linear: diferentes sistemas lógicos e como se relacionam.
Maria Osório
Área: Lógica
Muitas vezes, quando ouvimos falar em lógica, somos imediatamente remetidos para tabelas de verdade ou regras de inferência formais, e talvez fiquemos com a impressão de que tudo se resume a afirmações como ”Se p implica q e p é falso, então a implicação é verdadeira”. Embora essa seja uma forma válida de interpretar a implicação (nomeadamente na lógica clássica, não é a única interpertação possível, e em certos contextos, não é sequer a mais adequada.
Neste projeto, vamos explorar vários sistemas lógicos comparando as suas linguagens, interpretação dos conectivos e aplicabilidade a situações do dia a dia. Em particular, veremos como a lógica clássica, onde cada proposição é sempre verdadeira ou falsa, difere da lógica intuicionista, onde a verdade depende da existência de provas construtivas, e da lógica linear, com a qual conseguimos modelar restrições no uso de recursos. Iremos também estudar as relações entre estes sistemas, nomeadamente através das traduções!
A essência das séries e transformadas de Fourier.
Rafael Hipólito
Áreas: Análise, Topologia e Álgebra
Resumo: A teoria de representação de grupos finitos e a análise harmónica abstrata estudam na sua essência a mesma ideia, como decompôr as simetrias de um objeto. O objetivo deste projeto é mostrar conceitos essenciais de teoria de representação de grupos finitos (os objetos são finitos e o estudo é puramente algébrico) ou as suas generalizações em análise harmónica abstrata (que utiliza topologia para generalizar os resultados finitos), tendo como objetivo principal apresentar a dualidade de Pontryagin de modo intuitivo, e mostrar como as séries e transformadas de Fourier são simplesmente um caso de dualidade no círculo e na reta real respetivamente.
Funções Quase-Periódicas e Aplicações a Equações Diferenciais com Atrasos
Rodrigo Luís
Área: Equações Diferenciais Ordinárias com Atrasos
Resumo: Em muitos sistemas biológicos, variações periódicas ou quase-periódicas de variáveis, como a duração de um ciclo de vida, ou a quantidade de recursos disponíveis, são fatores importantes para modelar a evolução de uma população ao longo do tempo. Sabe-se também também que o tamanho de uma população de uma espécie particular de mosca varejeira, num determinado instante de tempo, é bem modelada por uma família de Equações Diferenciais com Atrasos (EDAs) chamadas de modelo das Moscas Varejeiras de Nicholson.
Incerteza e Simetria na Equação de Schrödinger: Um Estudo Bidirecional
Rodrigo Luís
Área: Equações Diferenciais Parciais e Análise de Fourier
Resumo:
Desenvolvido em 1925 pelo físico austríaco Erwin Schrödinger, a equação de Schrödinger é um dos pilares da mecânica quântica moderna. Apesar das suas aplicações físicas, é um objeto rico do ponto de vista matemático, uma vez que se relaciona com áreas profundas da Matemática, como a Análise Funcional e a Teoria Espectral de Operadores.
Neste projeto, pretendemos analisar esta equação e utilizar um princípio de incerteza que, sob certas condições, torna as soluções nulas. Aqui seguimos o trabalho de [1]. De seguida, seguindo o trabalho de [3], vamos no sentido inverso e exploramos as simetrias da equação de Schrödinger para chegar a um princípio de incerteza. Faremos também uma breve contextualização ao tema e com com a ajuda de [2] deduziremos as simetrias da equação de Schrödinger
A Matemática de Teoria das Cordas
Tomás Inácio
Áreas: Geometria Diferencial e Complexa, Teoria Quântica de Campo e Análise Complexa
Resumo:
A Teoria das Cordas é amplamente considerada como um dos candidatos mais promissores e conhecidos para uma teoria consistente da gravidade quântica. Na sua essência, a teoria propõe uma mudança fundamental na nossa compreensão dos building blocks do universo: em vez de partículas pontuais, os constituintes básicos são "cordas" unidimensionais cujas vibrações correspondem a diferentes partículas. Embora o salto conceptual possa parecer simples, as estruturas matemáticas que emergem desta ideia são extraordinariamente ricas e sofisticadas, recorrendo a ferramentas da geometria, da análise complexa e da álgebra.
Neste projeto, pretendemos explorar tanto as motivações físicas como a estrutura matemática da Teoria das Cordas. Começaremos por examinar os princípios fundamentais, começando pela transição da world-line de uma partícula para a world-sheet de uma corda - uma extensão que convida imediatamente a uma visão geométrica mais profunda.
A nossa viagem começará com a introdução da ação de Nambu-Goto e a sua reformulação através da ação de Polyakov. A partir daí, derivaremos as correspondentes equações de movimento e mostraremos como são elegantemente descritas na linguagem das superfícies complexas. Esta conduz-nos naturalmente à classificação das variedades complexas compactas unidimensionais - as superfícies de Riemann. Com base neste formalismo, procedemos à quantização da teoria e investigamos uma das suas implicações mais surpreendentes: usando técnicas da teoria analítica dos números, incluindo um famoso resultado atribuído a Ramanujan, demonstramos que à soma de todos os números naturais pode ser atribuído o valor -1/12. Embora este resultado possa parecer paradoxal, desempenha um papel crucial na demonstração de que a consistência da teoria das cordas bosónicas requer um espaço-tempo de 26 dimensões.
Qual é o volume mais pequeno possível?
Tomás Inácio
Áreas: Teoria da Representação e Física Matemática
Resumo: Loop Quantum Gravity (LQG) é uma das abordagens mais proeminentes para a formulação de uma teoria da gravidade quântica, sendo, a par da Teoria das Cordas, uma das principais candidatas. Em contraste com a dependência da Teoria das Cordas de dimensões extra e de um espaço-tempo de fundo fixo, a LQG é fundamentalmente independente do espaço onde se situa. Postula que o próprio espaço é constituído por unidades discretas e quantizadas - pequenos pedaços tetradimensionais que podem ser considerados como tetraedros quânticos. Neste projeto, iremos explorar a estrutura e as implicações da LQG, começando pelos seus fundamentos conceptuais e matemáticos. Começamos com a construção prática do espaço de Hilbert para a geometria quântica, utilizando triangulações de superfícies para definir redes de spin. Estas redes de spin representam os estados quânticos do espaço e são centrais para a estrutura da LQG.
Para aprofundar a nossa compreensão, estudaremos a teoria de representação de SU(2), que desempenha um papel crucial na descrição da geometria quântica codificada pelas redes de spin. Equipados com isto, exploraremos como a LQG define operadores correspondentes a quantidades geométricas como área e volume. O ponto culminante do projeto será o cálculo explícito do menor volume quântico possível previsto pela teoria. Isto irá dar-nos uma noção concreta de como a LQG quantiza o espaço-tempo e o que isso significa para a nossa compreensão do tecido do universo à escala de Planck.