Projetos
Ana Catarina Monteiro
Diogo Abreu
Diogo Abreu
Diogo Abreu
Duarte Costa
Gabriele Degano
Gabriele Degano
Guilherme Velez
Guilherme Velez
João Fontinha
João Fontinha
João Fontinha
Maria Osório
Pedro Campos
Pedro Campos
Tomás Inácio
Tomé Graxinha
Tomé Graxinha
Para Além dos Grupos
Ana Catarina Monteiro
Área: Álgebra, Semigrupos Inversos e Ortodoxos
Resumo: Todos conhecemos o conceito de grupo: conjunto com um produto (operação binária), com uma identidade e onde todos os elementos têm um único inverso. Estas características permitem-nos provar diversos resultados interessantes, mas… E se não formos tão exigentes com as condições? E se não tiver de existir uma identidade? E se permitirmos que exista mais do que um inverso? O que é que ainda conseguiremos provar? Vamo-nos afastar gradualmente do conceito de grupo, encontrar novas estruturas, perceber que resultados é que são generalizáveis e quais é que deixam de se verificar.
Modelos Matemáticos em Epidemiologia: Discreto versus Contínuo
Diana Ferreira
Área: Matemática Aplicada à Biologia
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Resumo: Dado que doenças infecciosas evoluem a um passo contínuo, modelos de tempo contínuo são mais prováveis de ser usados do que os de tempo discreto. Um exemplo de modelo de tempo contínuo é o modelo de Kermack-McKendrick. Ora, então quais são as vantagens de introduzir um modelo de tempo discreto para descrever a evolução de uma doença infecciosa? Será o estudo de modelos de tempo-discreto análogo ao estudo de modelos de tempo contínuo?
Modelos Matemáticos em Epidemiologia Inserção de heterogeneidade
Diana Ferreira
Área: Matemática Aplicada à Biologia
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Resumo: Considerando-se uma população de uma certa espécie, não é esperado que os seus indivíduos sejam todos iguais: p. ex., alguns indivíduos podem ser (parcialmente ou totalmente) imunes a uma certa doença infecciosa enquanto outros não são. A população humana, por exemplo, é notoriamente heterogénea}! Sendo assim, como podemos nós tomar em conta a heterogeneidade aquando da construção de um modelo epidemiológico? Que técnicas são usadas no estudo dos modelos obtidos?
Dualidade de Stone
Diogo Abreu
Área: Álgebra e Topologia
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Resumo: Desde a Álgebra à Análise, da Lógica à Geometria e da Estatística à Computação, a Matemática é uma disciplina constituída pelos mais diversos ramos, cada um com os seus problemas e as suas aplicações. Nem sempre é fácil relacionar as áreas entre si. Porém, é por vezes possível encontrar ligações entre dois conceitos matemáticos que nos permitem transferir resultados, problemas e estruturas entre eles. Estas ligações têm o nome de Dualidades. Iremos estudar em particular a Dualidade de Stone, que relaciona álgebras booleanas com espaços topológicos de Stone. Este é o projeto ideal para aqueles que se interessam por Álgebra mas que nunca se esqueceram de Topologia e gostavam de ver uma das maneiras em que estes dois tópicos estão relacionados.
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Observação. Na primeira semana (de 16 a 19 de julho) a mentoria deste projeto funcionará à distância, por vídeo-conferência. Na segunda semana funcionará presencialmente.
Identidades e Variedades
Diogo Abreu
Área: Álgebra Universal
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Resumo: Já repararam como muitas classes de estruturas algébricas, como anéis, grupos, etc., são definidas apenas por pequenas propriedades que os seus elementos e as suas operações verificam? Por exemplo, um semigrupo (S, *) é nada mais nada menos que um conjunto S com uma operação * associativa, isto é, que verifica x * (y * z) = (x * y )* z. Por outro lado, dizer que um semigrupo S é comutativo é o mesmo que dizer que x*y=y*x é verdade para quaisquer elementos de S. Surgem assim as seguintes questões: se tivermos um conjunto de propriedades descritas por igualdades, será que existem determinadas classes de semigrupos (ou de outras estruturas algébricas) que verifiquem essas propriedades? Se tivermos determinadas classes de semigrupos, será que existe um conjunto de propriedades caracterizadas por igualdades que todos e apenas esses semigrupos verifiquem?
Observação. Na primeira semana (de 16 a 19 de julho) a mentoria deste projeto funcionará à distância, por vídeo-conferência. Na segunda semana funcionará presencialmente.
Linguagens e Autómatos
Diogo Abreu
Área: Computação e Álgebra
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Resumo: O que é uma linguagem se não apenas um conjunto de palavras? E o que são palavras se não apenas uma sequência finita de letras de um alfabeto? Embora pensemos em linguagens como sendo meras ferramentas de comunicação, podemos expandir a nossa interpretação do que é uma linguagem de modo a usarmos este conceito para estudarmos o comportamento de pequenas "máquinas" que chamamos de autómatos. Neste projeto iremos então estudar a relação entre linguagens racionais e autómatos finitos.
Observação. Na primeira semana (de 16 a 19 de julho) a mentoria deste projeto funcionará à distância, por vídeo-conferência. Na segunda semana funcionará presencialmente.
Um Modelo para Dinâmica de Discussões
Duarte Costa
Áreas: Modelação matemática e Geometria
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Resumo: Já alguma vez tentaram embrulhar uma prenda com uma forma estranha e viram-se numa espiral de frustração? Bem, a experiência é universal, porque a culpa é da prenda! Mas podemos usar isto a nosso favor:
Imaginemo-nos a embrulhar vários objetos com papéis de embrulho de padrões diferentes, podendo rasgar e usar fita-cola. Dependendo do padrão e do objeto, podemos conseguir ou não completar o embrulho, respeitando o padrão. Assim, conseguimos distinguir uns objetos de outros.
É esta a ideia que feixes e co-feixes procuram reproduzir. Mas o seu interesse não acaba aqui: com estes conceitos, passamos mais abstratamente, a ser capazes de extrair informação global através de informação local.
Veremos como esta dualidade local-global transcende a matemática!
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Integrable Systems - The Bethe Ansatz
Gabriele Degano
Área: Mathematical Physics
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Resumo: “I got really fascinated by these (1+1)-dimensional models that are solved by the Bethe Ansatz and how mysteriously they jump out at you and work and you don’t know why. I am trying to understand all this better” (Feynman, R. P., Asa-Pacific Physics News 3, 22 (1988))
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Observação: Este projeto decorrerá em inglês ou italiano
The Complex WKB Method
Gabriele Degano
Área: Mathematical Physics
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Resumo: This project aims to study the basics of the complex WKB method and apply it to the quantum harmonic oscillator. Despite its simplicity, the harmonic oscillator has many of the interesting features of more complicated systems and is still a source of inspiration for new ideas and research directions, making it an important pedagogical milestone in the path of research.
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Observação: Este projeto decorrerá em inglês ou italiano
O Que o Hex Nos Pode Ensinar Sobre Topologia
Guilherme Velez
Área: Hex e Topologia Algébrica
Resumo: O que é que um simples jogo de tabuleiro como o Hex nos pode ensinar sobre descobertas fundamentais em topologia? De que forma podemos traduzir propriedades daquilo que é essencialmente um jogo baseado em grafos (objeto discreto) para propriedades sobre superfícies (objeto contínuo)? Como é que a variante deste jogo na superfície de um donut nos leva à eternamente assombrosa Topologia Algébrica?
É possível estender o Cálculo a Fractais?
Guilherme Velez
Área: Fractais
Resumo: O que é um fractal? É algo irregular e caótico? É algum padrão que se repete ad infinitum? É uma estrutura repleta de pontos bicudos? A resposta é um pouco de tudo isto. Os fractais constituem uma forma completamente diferente de modelar o mundo físico, entre outras aplicações nas ciências naturais e económicas. Estamos habituados a ter curvas e superfícies suaves, ou quando muito com uma quantidade razoável de bicos. Mas isto induz-nos em diversas limitações (exemplo: paradoxo da costa britânica). Que ferramentas temos para medir o grau de auto-semelhança nestes padrões infinitos? Dão-nos sempre uma quantia exata? Como assim, a dimensão do objeto vai ser um número não inteiro? Podemos calcular integrais perante uma descomunalidade de descontinuidades? Vamos ver vários exemplos e trabalhar com uma classe particular destes objetos, vendo como é possível estender o cálculo diferencial e integral clássico.
Física dos Números
João Fontinha
Áreas: Física e Teoria dos Números
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Resumo: : Sempre te intrigaste em saber como é que os mistérios dos inteiros se enquadram nos mistérios das leis do Universo? Na verdade existem bastantes interseções algo improváveis. Desde gases numéricos a fibrados aritméticos e movimento Browniano de primos, existem vários tópicos que poderás aprofundar dentro dos teus gostos e background. Se gostas de Física e Teoria de Números, então vem descobrir a Física Aritmética.
O Colar de Indra
João Fontinha
Área: Sistemas Dinâmicos Complexos
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Resumo: Na mitologia Hindu, todas as peripécias do mundo que alguma vez ocorreram e alguma vez irão ocorrer estão tecidas num colar infinito da Deusa Indra de padrões fractais de esferas. Matematicamente, tais padrões são originados através de uma “dança” infinita de iterações alternadas entre duas transformações no plano complexo. Neste projecto, com apenas um conhecimento rudimentar em funções de variável complexa, podes explorar como diferentes pares de transformações exibem diferentes padrões e até criar os teus próprios “colares de Indra” se estiveres também inclinado/a para programar. Será um tema que te abre portas para o estudo de sistemas dinâmicos e geometria hiperbólica.
Tão Fácil Como ABC
João Fontinha
Áreas: Teoria dos Números, Curvas Elípticas
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Resumo: Queres aprender a demonstrar o último Teorema de Fermat numa margem? Tal é possível se assumirmos como verdadeira a Conjectura de ABC. De fácil enunciação, mas ainda sem uma demonstração definitiva oficial, é uma conjectura que descreve como os números primos se comportam aditivamente. Através do estudo deste tópico é possível abordar problemas mais avançados de geometria e aritmética apenas assumindo alguma familiaridade com epsilons e deltas e o básico sobre divisibilidade e números primos.
Problema das 8 Rainhas
Maria Osório
Área: Lógica/ Teoria da Computação
O problema das 8 rainhas, publicado em 1848 por Max Bezzel, consiste em posicionar 8 rainhas num tabuleiro de xadrez 8X8, sem que nenhuma rainha possa "ameaçar" outra. Esta condição traduz-se em que nenhumas duas rainhas possam partilhar uma linha, coluna ou diagonal do tabuleiro, o que pode ser expresso através de fórmulas da lógica proposicional. Este problema é um caso particular do problema das n rainhas, que se sabe ter soluções para qualquer n>3. Este projeto, tem como objetivo modelar o problema e de o resolver para valores de n fixos, utilizando ferramentas lógicas e um pouco de programação!
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É recomendado ter conhecimentos básicos de Python (nível da UC Programação I).
Imagem gentilmente autorizada pelo autor em [4].
Contraexemplos e Paradoxos em Análise Matemática
Pedro Campos
Área: Análise matemática, teoria da medida
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Resumo: Sabias que existem conjuntos que não podem ser medidos? Sabias que é possível partir uma esfera num número finito de pedaços, e depois rearranjá-los de forma a obter outras duas esferas com o mesmo tamanho que a original? Neste projeto, vais poder deduzir estes, e outros, paradoxos e contraexemplos comuns da análise matemática.
Equações Diferenciais Parciais em Finanças
Pedro Campos
Área: Análise matemática, teoria da medida
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Resumo: Desde o século XX, a área das finanças tem introduzido problemas bastante práticos e desafiantes aos matemáticos. Neste projeto, a ideia é começar por derivar a equação de Black-Scholes, que nada mais é do que uma versão da equação do calor. Depois iremos resolver numericamente esta equação e determinar o preço das opções europeias. Caso o tempo permita, iremos também abordar problemas de obstáculo, que servem para modelar opções americanas.
Cálculos explícitos do Grupo de Brauer para diversos corpos
Rodrigo Luís
Área: Álgebra
Resumo: Dado um corpo k, podemos criar o seu grupo de Brauer Br(k). Este grupo, definido em 1929 por Richard Brauer, surge das tentativas de classificar álgebras de divisão sobre k. Neste sentido, dadas duas k-álgebras de dimensão finita sobre k, centrais e simples (k-CSA), podemos definir uma relação de equivalência entre elas e o Grupo de Brauer será o quocientado do conjunto de todas as k-CSAs pela relação de equivalência munido de um produto que surge naturalmente desta relação entre as álgebras.
Funções Quase-Periódicas e Aplicações a Equações Diferenciais com Atrasos
Rodrigo Luís
Área: Equações Diferenciais Ordinárias com Atrasos
Resumo: Em muitos sistemas biológicos, variações periódicas ou quase-periódicas de variáveis, como a duração de um ciclo de vida, ou a quantidade de recursos disponíveis, são fatores importantes para modelar a evolução de uma população ao longo do tempo. Sabe-se também também que o tamanho de uma população de uma espécie particular de mosca varejeira, num determinado instante de tempo, é bem modelada por uma família de Equações Diferenciais com Atrasos (EDAs) chamadas de modelo das Moscas Varejeiras de Nicholson.
Teoria de Twistores e a Equação de Airy
Tomás Inácio
Área: Equações Diferenciais Ordinárias no plano Complexo, Equações Diferenciais Parciais, Geometria Diferencial e Física Matemática.
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Resumo: A equação de Airy foi introduzida pela primeira vez no estudo da óptica, quando George Airy tentou entender o comportamento dos raios de luz do arco-íris. No entanto, a importância da equação não termina aí, aparecendo em muitas outras situações, como teoria da probabilidade, o método WKB e, de forma muito direta, em soluções da equação de Schrödinger com um potencial gravitacional uniforme.
Neste projeto começaremos por entender o que é a equação de Airy e como podemos encontrá-la quando tentamos resolver problemas gravitacionais básicos na mecânica quântica. Em seguida, examinaremos a geometria do twistor, entenderemos de onde ela vem, a motivação e, finalmente, alguns conceitos e resultados interessantes, como a congruência de Robinson e a representação integral de contorno da equação de onda. O objetivo de tudo isso é fornecer uma representação integral para as soluções da equação de Airy.
O Teorema dos Números Primos
Tomé Graxinha
Área: Teoria dos Números
Resumo: A prova elementar do Teorema dos Números Primos de ErdÅ‘s e Selberg representa um feito significativo na teoria dos números. A sua abordagem, embora menos dependente de maquinaria matemática avançada, estabelece rigorosamente o comportamento assintótico da função de contagem de primos e fornece insights valiosos sobre a distribuição dos números primos. Ao empregar técnicas elementares fundamentadas em argumentos combinatórios e desigualdades analíticas, ErdÅ‘s e Selberg iluminaram aspectos fundamentais da teoria dos números primos, demonstrando que é possível provar afirmações matemáticas profundas e complexas com técnicas elementares. Apesar de sua simplicidade, sua prova permanece como um testemunho da profundidade e elegância do raciocínio matemático. Neste projeto, pretendemos entender todos os detalhes prova.
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Observação: Este projeto funcionará à distância, sendo a mentoria feita por vídeo-conferência.
Uma Introdução à Teoria Ergódica
Tomé Graxinha
Área: Sistemas Dinâmicos
Resumo: Neste projeto pretendemos fornecer uma introdução à teoria ergódica. Baseada na teoria da medida e na teoria da probabilidade, na teoria ergódica estudamos conceitos como as propriedades estatísticas e as médias de longo prazo de sistemas dinâmicos e suas implicações para entender o comportamento de equilíbrio de sistemas complexos, através do prisma das transformações preservadoras de medida e do conceito de ergodicidade.
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Observação: Este projeto funcionará à distância, sendo a tutoria feita por vídeo-conferência.